купить угольник

Научная Сеть >> И. М. Парамонова "Симметрия в математике" Поиск BOAI: наука должна быть открытой Наука >> Математика | Популярные статьи Написать комментарий Добавить новое сообщение Группы преобразованийМножества купить угольник отображенияПусть X купить угольник Y --- произвольныемножества. Если каждому элементу xмножества X поставлен всоответствие определённый элемент y=f(x)множества Y, то говорят, чтоопределено отображениеf из X в Y (пишут f: X Y). Рис. 4Если имеются три множества X, Y,Z купить угольник два отображения f: X Y купить угольник g: Y Z, тоопределено "сквозное"отображение g f: X Z,которое переводит элемент xмножества X в элемент z=g(f(x))множества Z (рис. 4). Отображение g f называется композициейили произведениемотображений f купить угольник g. Рассмотрим тождественноеотображение eX: XX, которое"оставляет на месте" любойэлемент xX,т. е. eX(x)=x длялюбого xX, ианалогичное отображение eY:YY. Отображениеf: XYназывается обратимым(взаимнооднозначным соответствием),если существует такое отображение gY X, что g f=eX,f g=eY,иначе говоря g(f(x))=x для всех x X купить угольник f(g(y))=yдля всех y Y.Рис. 5Такое отображение gназывается обратнымотображению f купить угольник обозначается f-1 (рис. 5).Преобразованияи их свойстваПреобразованием некоторогомножества X называетсяобратимое отображение множества Xна себя --- f: XX.Если f купить угольник g --- двапреобразования множества X, тоих произведение g f также являетсяпреобразованием множества X.(Действительно, отображение g f переводитмножество X в множество X, аобратным ему является отображение f--1 g-1.)Таким образом, на совокупности всехпреобразований множества Xопределена операция умножения .Конечно, умножениепреобразований устроено не такпросто, как умножениедействительных чисел. Например, длялюбых чисел a купить угольник b выполненоравенство a*b=b*a. Однако далеко невсегда f g=g f.Рис. 6Рассмотрим такой пример. Пустьмножество X --- это плоскость,преобразование f --- поворот сцентром в точке O на некоторыйугол, g --- симметрияотносительно прямой l (рис. 6).Преобразование f g переводит точку A вточку A'=f(g(A)), купить угольник преобразование g f --- в точку A''=g(f(A))(в первом случае мы сначалаотразили, потом повернули, вовтором --- сначала повернули, потомотразили). А раз точки (f g)(A) купить угольник (g f)(A) не совпадают, то f g купить угольник g f --- разныепреобразования.Но умножениепреобразований обладает купить угольник многимихорошими свойствами, которыесближают его с умножением чисел. Мызнаем, например, что (a*b)*c=a*(b*c)для любых чисел a, b купить угольник c, т.е. что произведение трёх чисел независит от того, в каком порядкевыполнять операции умножения.Такое же свойство выполняется купить угольник дляпреобразований: (f g) h=f (g h). Докажем это. Поопределению умноженияпреобразований, для любогоэлемента x X((f g) h)(x)=(f g)(h(x))=f(g(h(x)),(f(g h))(x)=f((g h)(x))=f(g(h(x))).Таким образом, преобразования (f g) h купить угольник f (g h)переводят любой элемент x X в элемент f(g(h(x))).Значит, эти преобразованиясовпадают.Среди всех чисел выделяется число1, обладающее следующимсвойством: a*1=a для любого числа a.В множестве преобразований рольединицы выполняет тождественноепреобразование e=eX:очевидно, что f e=f=e fдля любого преобразования f.Каждому числу a0 соответствует число a-1=1/a,a*a-1=1; говорят, чточисла a купить угольник a-1взаимно обратны. Каждомупреобразованию f такжесоответствует обратноепреобразование, т. е. такое f-1, что ff -1=f -1 f=e.Группыпреобразований купить угольник их инвариантыОбозначим через некоторуюсовокупность интересующих нассвойств множества X, купить угольник через G--- совокупность всехпреобразований множества X,сохраняющих эти свойства . Пример 1. Если X --- этоплоскость, --- расстояния междуточками плоскости, то G состоитиз движенийплоскости: поворотов, параллельныхпереносов, симметрий,а также их всевозможныхпроизведений (композиций). Пример 2. (К задаче 3.)Пусть X --- плоскость, купить угольник вкачестве возьмём расстояния междуточками купить угольник данный правильныйn-угольник A1A2...An. Тогда G ---совокупность движений плоскости,оставляющих на месте этот n-угольник,--- состоит из n поворотов(включая поворот на нулевой угол, т.е. тождественное преобразование) купить угольник nосевых симметрий. (G называется группойсамосовмещений правильногоn-угольника.)Пример 3. (К задаче 4.)Пусть X={x,y,z} --- множество из трёхэлементов --- формальных символов, --- видсистемы уравнений в условии задачи.Тогда, как мы уже выяснили, G ---совокупность преобразований,сохраняющих вид системы, --- состоитиз перестановокэлементов множества X.Пример 4. Заменимсистему уравнений в задаче 4 натакую: (новую задачу обозначим 4').Как видим, уже не все перестановкиэлементов множества X сохраняютвид новой системы: G состоит изперестановки xy купить угольник тождественнойперестановки. Отметим некоторые общие свойствасовокупности G.1o. Если g1 G купить угольник g2 G, то g1 g2 G.2o. e G.3o. Если g G, то g -1 G. Дадим теперь важное определение.Группой преобразованийназывается совокупность Gпреобразований множества X,удовлетворяющая условиям 1o--3o.В приведённых выше примерах посвойствам мы находили группупреобразований, сохраняющих этисвойства. Часто встречается иобратная задача: дана группапреобразований, купить угольник нужно найти ---определить, какие свойствамножества X не меняются поддействием группы. Такие свойстваназываются инвариантами группыпреобразований.Задачи, связанные с нахождениеминвариантов, довольно частовстречаются на математическихкружках купить угольник олимпиадах.Задача. На 44 деревьях,посаженных по окружности, сидят 44весёлых чижа, по одному на каждомдереве. Время от времени один изчижей перелетает на соседнеедерево купить угольник одновременно с нимкакой-нибудь другой чиж перелетаетна соседнее дерево впротивоположном направлении. Могутли все чижи собраться на одномдереве?Решение. Занумеруем деревьяпо порядку числами от 0 до 43. Вдальнейшем нам будет удобносчитать, что это не целые числа, аостатки от деления на 44 или вычеты помодулю 44 (так, например, 440(mod 44), 43+54(mod 44), 1-342(mod 44)). .Каждому вычету i (i=0, ..., 43)сопоставим число ni,равное количеству чижей на i-мдереве (числа ni тожесуть вычеты по модулю 44). Врезультате мы получаем функцию f(i)=niна множестве вычетов со значениямив множестве вычетов. Множество всехтаких функций обозначим через X.Например, когда все чижисидят на одном дереве (с номером i),получается функция f0(k)=т. е. f0=0.Начальному расположению чижейотвечает функция fнач=1.А ситуации, когда есть всего одинчиж, сидящий на i-м дереве,отвечает функция i(k)=Пусть в какой-то момент временичиж перелетает с i-го дерева на (i+1)-е,и одновременно с ним другой чижперелетает с j-го дерева на (j-1)-е.Сопоставим этим перелётам чижейпреобразование gij: XX, (gijf)(k)=f(k)+i+1(k)-i(k)-j(k)+j-1(k).Контрольный вопрос: какдействует gji? Запишитеформулу для этого преобразования ивыясните, какие перемещения чижейему соответствуют. Преобразования gij --- это элементарныепреобразования. Всевозможныекомпозиции элементарныхпреобразований образуют некоторуюгруппу G преобразованиймножества X.Контрольные вопросы: Что такое gij-1?Что такое (gijgkl)-1?Как действует преобразование gi,j-1 gi-1,j?А теперь вычислим длякаждой функции f X число (а точнее вычет) S(f): S(f)=0*f(0)+1*f(1)+2*f(2)+...+43*f(43). Легко видеть, что S(f) ---инвариант группы G.Действительно, любое элементарноепреобразование функции f неменяет S(f): S(gijf)=S(f)+(i+1)-i-j+(j-1)=S(f). Но тогда купить угольник любое преобразование g G, каккомпозиция элементарныхпреобразований, не меняет значения S(f).Осталось заметить, что S(fнач)=0+1+2+...+43=(43*44)/2=94622 (mod 44), S(f0)0 (mod 44). Следовательно, никаким элементомгруппы G нельзя перевестифункцию fнач в функциюf0. Это означает, чтовсе 44 чижа не могут собраться наодном дереве.Как правило, задача типа: "Можно ли сделать <что-нибудь>?"--- либо задача на построениепримера, если это сделать можно,либо задача на нахождениеинвариантов, которые показывают,что это сделать нельзя.Таким образом, мы рассмотрели дваобъекта: группы преобразований купить угольник ихинварианты. Существуют, как мывидели, два класса задач: поимеющимся инвариантам определитьгруппу преобразований и, наоборот,по данной группе преобразованийнайти инварианты. В некоторомсмысле группа преобразований купить угольник еёинварианты --- двойственныепонятия.Следующий разделМЦНМО Написать комментарий Copyright © 2000-2008, РОО "Мир Науки купить угольник Культуры". ISSN 1684-9876 Страницы спонсоров: Обрудование промышленно-торговая компания Альфа-Сервис в Москве. | KINO.RU - кино, фильмы, киноафиша, кинотеатры в г. Москва | Роскошный банкетный зал для свадьбы в ресторане Москвы! | Купить игры psp, nintendo wii, gamedoy в интернет-магазине ОФФО! | оборудование для бассейнов, строительство бассейнов разделы мва прибор крыса венеролог зеркало вагинальный монетница холодильный камера колокейшн электропечь dimplex model lee rc зеркало вагинальный дермато-венеролог гелусил лак штамповка мрт коленный сустав меховой холодильник развальцовка подогреватель корпаративные вечеринка бегущий строка snr аппарат фигурный нарезка тест эфирный антенна степ-аэробика кайт обогащение кислородом кулер 939 вскрытие авто видеосъемка торжество измеритель освещенность кулер процессорный барбекю доставка кулеров фосфорный краска тестоделитель аэробика квантовый медицина циклон цол сбор д/полоскания горло зубной боль танго кэш венеролог решетка оцинкованный промальп i`m o.k./герои гроб карл гиря сушильный машина frigidaire купить мобильник пескоструйка листогибы прайс сушильный машина кайт серфинг программа шифрование данный вакансия красноярск touch screen надевание бахила электропечь dimplex model lee rc апгрейд обезьяна программа шифрование электроинструмент метабо стенд купить каболка гайковерт здание лмк квантовый медицина асбест эксимер лазер мытье потолок braas сенсорный экран устройство решетка дренажный бегущий строка промышленый альпинизм стопный пластырь долг радиодоступ купить джойстик решетка дренажный стоматологический услуга купить конвертер эфирный антенна kaasi многотарифные электросчетчик вино роза вымпел электропечь dimplex model lee rc 5440.14 (крышка) лечение головокружение кулер 939 гуп ритуал k610 купить предохранитель пкэ анкетирование бензопила stihl этикетировщик обзвон организовать рассылка компания доминике глюкозамин-хондроитиновый комплекс багетный мастерский компания сент-люсии ожирение fag купить стиральный покрышка бриджстоун вытяжка крона рефконтейнеры обед холодный зеркало длинный нард купить угольник